Задание последовательности формулой ее общего члена

Числа, записанные в последовательности, называются членами последовательности. Сложите первый (1) и второй (1) члены. Получится третье число последовательности. Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Найдите первый член арифметической прогрессии (an), если a17=-2; d=-0,5.

На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтактечисловые последовательности. Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность?

Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою. Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Во-первых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке.

На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Подставьте в формулу натуральные номера и проверьте правильность построенной выше числовой последовательности. Таким образом, члены последовательности могут повторяться. А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Более того, в теории числовая последовательность считается частным случаем функции, и людям, которые знакомы с пределом функции, будет заметно веселее.

То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой.

Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ -окрестность своего предела. Примеры решений и Замечательные пределы. Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов.

По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей. Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных.

Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени. Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде можно узнать из Примеров №11-13 той же статьи. Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности. Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены!

Задание последовательности формулой ее общего члена

Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности получен бесконечный результат (или если предела нет), то у последовательности предела не существует вообще. Пример 7. Запишите все пять членов числовой последовательности, заданной графическим способом. Очевидно, что . Предположим, что для некоторого n=k верно , тогда из (1) получаем , то есть . Это означает, что для любого n верно . Докажем теперь, что данная последовательность ограничена.

Это и есть n-й член арифметической прогрессии. Вот, в сущности, и всё. Осталось выразить первый член арифметической прогрессии из формулы, да посчитать. Она тоже позволяет найти любой член прогрессии по его номеру. 1. В арифметической прогрессии (an) a2=3; a5=5,1. Последовательность является дискретным вариантом понятия функции. Причина – аргумент всегда натуральное число n, стремящийся к положительной бесконечности.Как найти предел последовательности?

При решении этой задачи к исходной функции применяется ряд правил, которые в итоге позволяют найти предел последовательности, которая задана в условии. Нужно найти к чему стремится эта функция при n стремящемся к бесконечности.

2. Описательныйспособ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность. Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно.

Пример 3. y1 = 1; – эта последовательность не является не возрастающей не убывающей. Определение.Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T,что начиная с некоторого n, выполняется равенство yn = yn+T. Число T называется длиной периода. Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности.

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности. Любая бесконечно малая последовательность ограничена. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Самый простой способ вычислить последовательность Фибоначчи – это создать таблицу, но такой метод не применим к большим последовательностям. Например, если нужно найти пятое число последовательности, нарисуйте таблицу с пятью строками.

Рекуррентный способ задания последовательности

В левом столбце напишите порядковые номера членов последовательности. Такие цифры определяют порядковые номера членов (чисел) последовательности Фибоначчи. В первой строке правой колонки напишите 1. Это первое число (член) последовательности Фибоначчи. Имейте в виду, что последовательность Фибоначчи всегда начинается с 1. Если последовательность начинается с другого числа, вы неправильно вычислили все числа вплоть до первого.

Докажем теперь, что последовательность {a} ограничена. Здесь мы познакомимся с числовой последовательностью и способами ее задания. Выписать несколько первых членов этой последовательности. Функция при убывает, следовательно, числовая последовательность также убывает. Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности , которая составлена из модулей членов.